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By Hans Kurzweil

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Wir definieren eine lineare Abbildung δ : F[X] → F[X] (Derivation) , indem wir sie zun¨achst auf der Basis X i , i ∈ N0 , des Vektorraums F[X] erkl¨aren  i=0  0 i fu¨r δ(X ) := ,  i−1 iX i∈N und dann linear fortsetzen: Fu¨r A = ai δ(X i ) = δ(A) := i≥0 i≥1 i ai X i ∈ F[X] sei ai i X i−1 = a1 + 2 a2 X + 3 a3 X 2 + · · · Man schreibt A = δ(A) und nennt A die Ableitung von A. h. es gilt (λA + µB) = λA + µB . 8 (A · B) = A · B + A · B Beweis: Sei zun¨achst A = X i , B = X j . Dann ist nach Definition A ·B+A·B = i X i−1 · X j + j X i · X j−1 = (i + j) X (i+j)−1 = (i + j) X (i+j)−1 = (A · B) .

Also ist Ri+2 = (−1)i+2 · Ci+1 · N − (−1)i+2 · Di+1 · A , dies ist die Behauptung fu¨r i + 1 . 2 grad Di = n − grad Ri Beweis: Dies ist richtig fu¨r i = 0, 1, siehe D1 . Sei i > 1 und sei grad Di = n − grad Ri , grad Di−1 = n − grad Ri−1 bereits bewiesen. Wir zeigen die Behauptung fu¨r i + 1 anstatt i. Es ist Fi+1 · Ri+1 = Ri − Ri+2 , Di+1 = Fi+1 · Di + Di−1 . Aus grad Ri+2 < grad Ri und grad Di−1 = n − grad Ri−1 < n − grad Ri = grad Di folgt grad Ri = grad Fi+1 + grad Ri+1 , grad Di+1 = grad Fi+1 + grad Di .

Bestimme A(2) ohne A explizit zu berechnen. 58 6 Zyklische Gruppen Wir zeigen im n¨achsten Kapitel, dass die multiplikative Gruppe F∗ eines endlichen K¨orpers eine zyklische Gruppe ist. Dazu bestimmen wir in diesem Kapitel die Struktur einer zyklischen Gruppe und gewinnen damit auch wesentliche Strukturaussagen fu¨r endliche K¨orper. Wir definieren: Eine Gruppe G ist eine nicht leere Menge G = {a, b, c, . } in der je zwei Elementen a, b ∈ G in eindeutiger Weise ein Element ab ∈ G zugeordnet ist (man nennt ab das Produkt von a, b), so dass gilt: G1) Das Produkt ist assoziativ und kommutativ: 7 a(bc) = (ab)c und ab = ba G2) Es existiert ein Einselement 1 ∈ G und es existiert zu a ∈ G ein inverses Element a−1 ∈ G : 1a = a und aa−1 = 1 Wir haben die Gruppe multiplikativ geschrieben, die Notation in einer additiv geschriebenen Gruppe erkl¨aren wir weiter unten.

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